3- Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

analitikduzlem9 Şubat 201716 Şubat 2017Genel

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.

$A({ X }_{ 1 },{ Y }_{ 1 }),B({ X }_{ 2 },{ Y }_{ 2 }),C({ X }_{ 3 },{ Y }_{ 3 })$ noktaları için,

$\cfrac { \left| AB \right| }{ \left| BC \right| } =\cfrac { m }{ n } =\frac { { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } =\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 3 }-{ y }_{ 2 } }$

eşitliği vardır.

Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.

m uzunluğunda (x₂– x₁) kadar yer değişirse

n uzunluğunda (x₃-x₂) kadar değişir.

Değişme miktarı artma ya da azalma olabilir.Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmesidir.Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.

m uzunluğu (y₂-y₁) kadar değişirse n uzunluğu da (y₃-y₂) kadar değişir.

Örnek:

Analitik düzlemde A(3,-1) ve B(-1,7) noktaları veriliyor.

Buna göre , AB doğru parçasını $\cfrac { \left| AC \right| }{ \left| BC \right| } = 3$ oranında içten bölen C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm:

_{-1 den 7 ye 8 artmış bu artma 4k kadarki uzunlukta olmuş}

_{C(0,5) noktasıdır. Koordinatları toplamı 0+5=5}

Örnek :

_{A(1,8) ve B(4,6) olmak üzere,[AB] nı}_{oranında dıştan bölen C noktasının koordinatları çarpımı kaçtır?}

Çözüm:

apsis için

1 den 4 e 3 artmış bu artma k kadar uzunlukta olmuş

2k da 6 artar x= 4 + 6 = 10

ordinat için

8 den 6 ya 2 azalmış bu azalma k kadar uzunlukta olmuş

2k da 4 azalma olur y= 6-4 =2

C(10,2) koordinatlar çarpımı=20

Örnek :

ABC üçgen K ∈ [AB AC açıortay A(0,2) B(3,-4 ) C( 1 ,4)

Yukarıdaki verilere göre D noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

üçgende dış açıortay bağıntısından

$\cfrac { \left| AB \right| }{ \left| BD \right| } =\cfrac { \left| AC \right| }{ \left| CD \right| }$

$\left| AB \right| =\sqrt { { (2+4) }^{ 2 }+{ (-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 45 }$

$\left| AC \right| =\sqrt { { (2-4) }^{ 2 }+{ (-1) }^{ 2 } } =\sqrt { 5 }$

$\frac { \sqrt { 45 } }{ \left| BD \right| } =\frac { \sqrt { 5 } }{ \left| CD \right| }$

D nin apsisi için

2k da 2 azalmışsa

k da 1 azalır ve apsis 1-1=0 olur.

D nin ordinatı için

2k da 8 artmışsa

k da 4 artar ve ordinat 4+4=8 olur D(0,8) noktasıdır.

Örnek :

$\left| AD \right| =?$

Çözüm:

D noktasının apsisi

5k -15

k -3 2k da -6 apsis = 5-6=-1

D noktasının ordinatı D(-1,1)

5k 5

k 1 2k da 2 artar ordinat = -1+2=1

$\left| AD \right| =\sqrt { { (7+1) }^{ 2 }+{ (7-1) }^{ 2 } } =\sqrt { { 8 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 } } =10$

Yorum bırakın Cevabı iptal et