4- Üçgenler

analitikduzlem

Üçgenin Ağırlık Merkezi

ABC üçgeninin köşe koordinatları

A(x1,y1) , B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,xG) ise ağırlık merkezi koordinatları

{ X }_{ G }=\cfrac { { X }_{ 1 }+{ X }_{ 2 }+{ X }_{ 3 } }{ 3 }

{ Y }_{ G }=\cfrac { { Y }_{ 1 }+{ Y }_{ 2 }+{ Y }_{ 3 } }{ 3 }

Örnek :

(-1,2),B(4,-7),C(9,2) olmak üzere , ABC üçgensel bölgesinin ağırlık merkezinin koordinatları nedir?

Çözüm:

G(\frac { -1+4+9 }{ 3 } ,\frac { 2-7+2 }{ 3 } )\quad \rightarrow \quad G(4,-1)

Örnek:

Analitik düzlemde , birbirlerine uzaklıkları eşit olan üç noktanın oluşturdukları üçgensel bölgenin ağırlık merkezinin koordinatları G(0,3)tür.

Üçgenin köşegenlerinden birinin koordinatları A(2\sqrt { 2 } ,1) olduğuna göre, üçgensel bölgenin alanı kaç birim karedir?

Çözüm:

orijin19.png

G(0,3)=(\frac { X+V+2\sqrt { 2 }  }{ 3 } ,\frac { Y+Z+1 }{ 3 } )\quad \rightarrow X+V=-2\sqrt { 2 } \quad ve\quad Y+Z={ 8 }

orijin20.png

H orta noktadır.   H(\frac { -2\sqrt { 2 }  }{ 2 } ,\frac { 8 }{ 2 } )\quad \rightarrow \quad H(-\sqrt { 2 } ,4)

\left| AH \right| =\sqrt { { (\sqrt { 2 } +2\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }+{ (4-1) }^{ 2 }\quad  } =3\sqrt { 3 }

30 60 90 üçgeninden \left| BC \right| =6\quad ve\quad { h }=3\sqrt { 3 }

ALAN=\frac { 6\times { 3\sqrt { 3 }  } }{ 2 } =9\sqrt { 3 }

Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı

Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

orijim22

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)

Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

  • Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
  • Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

Örnek:

Köşe koordinatları A(2,6), B(2,1), C(1,9) olan ABC üçgeninin alanını bulunuz.

orijin23.png

Yorum bırakın