1- Noktanın Analitik İncelenmesi

0 (sıfır) sayısına karşılık gelen O noktasında birbirine dik olan biri yatay diğeri düşey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme,dik koordinat sistemi;bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x (apsis) ekseni, düşey eksen ise y (ordinat) eksenidir. Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x,y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir. P(x,y) noktası için, x noktanın apsisi, y de noktanın ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Orijinin koordinatları O(0,0) ‘dır. x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a,0) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(0,b) noktası gibi.

$\left| x \right|$ : X noktasının y eksenine olan uzaklığı
$\left| y \right|$ : Y noktasının x eksenine olan uzaklığı

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

a) Apsisleri veya ordinatları eşit olan nokta arasındaki uzaklık

*Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık,bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.

A(a,c) ve

B(a,b) noktaları için

$IABI=Ic-bI$

*Ordinatları eşit iki nokta arasındaki uzaklık,bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değerine eşittir.

A(b,a)ve

B(c,a) noktaları için

$IABI=Ic-bI$

b) Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Analitik düzlemde A(x_1,y₁) ve B(x₂,y₂) noktaları arasındaki uzaklık IABI biçiminde gösterilir.

A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.

AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüstür.[AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x₂– x₁) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y₂-y₁)dir.

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

$\left| AB \right| =\sqrt { { ({ x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 }) }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 }) }^{ 2 } }$

eşitliği ile bulunabilir. Burada x₂ile x₁nin ve y₂ile y₁nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

c) Bir noktanın orijine uzaklığı

P(a,b) noktasının orijine uzaklığı

$\left| OP \right| =\sqrt { {a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$

ÖRNEKLER:

Örnek: $B(3k-6,\quad 12)$ noktası eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre k’nın alabileceği değerler toplamını bulunuz.

Örnek: $A({ a }^{ 3 }\cdot { b }^{ 2 },a-b)$ noktası 2. bölgede ise $B(-a,b)$ noktası hangi bölgededir?

Çözüm:
2.bölge => (-,+) ‘dir. Buna göre a³.b²< 0 olduğundan a negatif olmalı, buna bağlı olarak a-b>0 ise a>b olmalıdır. Bu durumda a ve b her ikisi de negatif olur. B(-a,b) = B(+,-) olur. Buna göre B noktası 4. bölgededir.

Örnek: $A(4k+12,k-3)$ 4. bölgede olduğuna göre k’nın alabileceği değerler toplamı nedir?

Çözüm:
$4k+12>0\quad \rightarrow \quad 4k>-12\quad \rightarrow \quad k>-3\quad ve\quad k-3<0\quad \rightarrow \quad k<3$

buna göre $-3<k<3$ k= { -2,-1,0,1,2} olur, toplamı=0 dır.

Örnek: Analitik düzlemde $A(3k-6,2k-8)$ noktası x ekseni üzerinde ise A noktasının orijine olan uzaklığı kaç br dir ?

Çözüm:
X ekseni üzerinde ise $A(a,0)\quad \rightarrow \quad 2k-8=0\quad \rightarrow \quad k=4$ olur. $A(3.4-6),2\times 4-8)\quad \rightarrow \quad A(6,0)\quad$ noktasıdır, orijine olan uzaklığı 6 br’dir.

Çözüm:
$x-2>0$ olacağından $\quad x>2\quad$ ve $y+2<0$ olacagından $y<-2$ olur.

$\left| 2y-x \right|$ mutlak değerin içi negatiftir, dışarı -2y+x olarak çıkar.

0+ x-y -2y+x =2x-3y dir.

Örnek: A(-4,7) ve B(1,-5) noktaları arsındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:
$\sqrt { { (-5-7) }^{ 2 }+{ (1-(-4)) }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\quad \rightarrow \quad a=13$

Örnek: $A(a\sqrt {2},a\sqrt {3})$ noktasının orijine olan uzaklığı 75 br ise a nın alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm:
$\sqrt { { (a\sqrt { 2 } ) }^{ 2 }+{ (a\sqrt { 3 } ) }^{ 2 } } =75\\ \sqrt { 2{ a }^{ 2 }+{ 3a }^{ 2 } } =75\\ \sqrt { 5{ a }^{ 2 } } =75\\ \left| a \right| \sqrt { 5 } =75\\ \left| a \right| =15\sqrt { 5 } \\ a=\left\{ -15\sqrt { 5 } ,15\sqrt { 5 } \right\}$

Örnek:

A(k,2) ve B(3,-6) IABI=10 br ise k’nın alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm:

$\sqrt { { (k-3) }^{ 2 }+{ (2+6) }^{ 2 } } =10\\ { \sqrt { { (k-3) }^{ 2 }+{ (2+6) }^{ 2 } } }^{ 2 }={ 10 }^{ 2 }\\ { (k-3) }^{ 2 }+64=100\\ \sqrt { { (k-3) }^{ 2 } } =\sqrt { 36 } \\ \left| k-3 \right| =6\begin{cases} k-3=6,\quad k=9 \\ k-3=-6,\quad k=-3 \end{cases}\\ k=\left\{ 9,-3 \right\}$

Örnek:

A(3,6),B(k,7) ve C(6,3) $\left| AB \right| =\left| BC \right| \quad \rightarrow \quad k=?$

Çözüm:

$\sqrt { { (k-3) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { { (k-6) }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } \\ { k }^{ 2 }-6k+10={ k }^{ 2 }-12k+36+16\\ 6k=42\\ k=7$